1449. Через одну из точек пересечения двух равных окружностей проведена общая секущая. Докажите, что отрезок этой секущей, заключённый между окружностями, делится пополам окружностью, построенной на общей хорде этих окружностей как на диаметре.
Указание. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей, равны.
Решение. Пусть A
и B
— точки пересечения двух равных окружностей, CD
— отрезок общей секущей, проведённой через точку A
, заключённый между окружностями, M
— точка, в которой окружность с диаметром AB
пересекает отрезок CD
. Тогда BM\perp CD
, а так как углы BCD
и BDC
равны (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей), то высота BM
равнобедренного треугольника BCD
является его медианой, т. е. CM=DM
.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 77, с. 37