14490. В конус, осевое сечение которого — прямоугольный треугольник, вписан цилиндр; его нижнее основание лежит в плоскости основания конуса. Отношение боковых поверхностей конуса и цилиндра равно 4\sqrt{2}
. Найдите угол между между плоскостью основания конуса и прямой, проходящей через центр верхнего основания цилиндра, и произвольную точку окружности основания конуса.
Ответ. \arcctg(4\pm2\sqrt{2})
.
Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса и цилиндра — равнобедренный треугольник ASB
с прямым углом при вершине S
и вписанный в него прямоугольник KLMN
, вершины K
и L
которого лежат на отрезке AB
, а вершины M
и N
— на SB
и SA
соответственно. Пусть высота SO
треугольника ASB
пересекает сторону MN
прямоугольника в точке Q
. Обозначим
OA=OB=R,~OK=OL=r,~QO=h,~SA=l,~\angle OAQ=\alpha.
Тогда
AK=KN=QO=h,~AK=OA-OK=R-r,~R-r=h,
r=R-h,~l=SA=OA\sqrt{2}=R\sqrt{2}.
По условию задачи
\frac{\pi Rl}{2\pi rh}=4\sqrt{2}~\Rightarrow~\frac{Rl}{2rh}=4\sqrt{2}~\Rightarrow~\frac{R\cdot R\sqrt{2}}{2h(R-h)}=4\sqrt{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~R^{2}-8Rh+8h^{2}=0~\Rightarrow~\left(\frac{R}{h}\right)^{2}-8\cdot\frac{R}{h}+8=0.
откуда \frac{R}{h}=4\pm2\sqrt{2}
. Следовательно,
\ctg\alpha=\ctg\angle OAQ=\frac{OA}{OQ}=\frac{R}{h}=\frac{R}{h}=4\pm2\sqrt{2}.