14491. В конус вложен шар, причём поверхность шара и коническая поверхность конуса касаются. Объём тела, заключённого между ними, в восемь раз меньше объёма шара. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, O
— центр шара радиуса R
, вложенного в конус, r
— радиус окружности касания, \alpha
— искомый угол при вершине осевого сечения конуса.
Объём V
тела, заключённого между поверхностью шара и конической поверхностью конуса, равен разности V_{1}-V_{2}
, где V_{1}
— объём объединения двух конусов, общее основание которых есть круг, ограниченный окружностью касания конуса и шара, и сумма высот которых равна расстоянию от вершины конуса до центра шара, а V_{2}
— объём соответствующего шарового сектора данного шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса и шара — равнобедренный треугольник с вершиной S
и круг радиуса R
с центром O
, касающийся в точках A
и B
лучей, содержащих боковые стороны треугольника сечения (A
и B
— диаметрально противоположные точки окружности, по которой шар касается конической поверхности конуса).
Пусть отрезок SO
пересекает окружность круга в точке P
, а хорду AB
— в точке Q
. Тогда SO
— биссектриса угла ASB
, SO\perp AB
, P
— середина AB
, а \angle OAQ=\angle OSA=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольных треугольников AQO
и SAO
получаем
r=QA=OA\cos\angle OAQ=R\cos\frac{\alpha}{2},~OQ=OA\sin\angle OAQ=R\sin\frac{\alpha}{2},
SO=\frac{OA}{\sin\angle OSA}=\frac{R}{\sin\frac{\alpha}{2}},
Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot SQ+\frac{1}{3}r\cdot OQ=\frac{1}{3}\pi r^{2}(SQ+OQ)=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot SO=
=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{R}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\pi R^{3}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{3\sin\frac{\alpha}{2}},
По формуле для объёма шарового сектора (см. задачу 9589)
V_{2}=\frac{2}{3}\pi R^{2}\cdot PQ=\frac{2}{3}\pi R^{2}\cdot(OP-OQ)=\frac{2}{3}\pi R^{2}\left(R-R\sin\frac{\alpha}{2}\right)=
=\frac{2}{3}\pi R^{3}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right).
По условию
V_{1}-V_{2}=V=\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{1}{6}\pi R^{3},
или
\frac{\pi R^{3}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{3\sin\frac{\alpha}{2}}-\frac{2}{3}\pi R^{3}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{6}\pi R^{3}.
После очевидных упрощений получим уравнение
2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-5\sin\frac{\alpha}{2}+2=0,
из которого (при условии 0\lt\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ}
) находим, что \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
. Следовательно, \frac{\alpha}{2}=30^{\circ}
, а \alpha=60^{\circ}
.