14498. Высота DH
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна стороне основания ABC
. Найдите:
а) тангенс угла между высотой DH
и медианой AM
боковой грани ADB
;
б) угол бокового ребра с плоскостью основания;
в) синус угла боковой грани с плоскостью основания;
г) косинус двугранного угла при боковом ребре.
Ответ. а) \sqrt{\frac{7}{3}}
; б) 60^{\circ}
; в) 2\sqrt{\frac{3}{13}}
; г) \frac{5}{13}
.
Решение. Обозначим DH=AB=a
.
а) Пусть M'
— середина отрезка BH
. Тогда MM'
— средняя линия прямоугольного треугольника DHB
, поэтому MM'\parallel SH
. Значит, угол \varphi
между скрещивающимися прямыми DH
и AM
равен углу между пересекающимися прямыми MM'
и AM
.
Поскольку BH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, то MM'
— тоже перпендикуляр к этой плоскости, поэтому \varphi=\angle AMM'
.
Пусть K
— середина ребра AC
. Тогда
KM'=KH+HM'=\frac{1}{3}BH+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Из прямоугольных треугольников BHD
и AKM'
находим, что
MM'=\frac{1}{2}DH=\frac{a}{2},~AM'=\sqrt{AK^{2}+KM'^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
\tg\varphi=\frac{AM'}{MM'}=\frac{\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
б) Угол бокового ребра с плоскостью основания обозначим \alpha
. Из прямоугольного треугольника AHD
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle DAH=\frac{DH}{AH}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
в) Угол боковой грани с плоскостью основания обозначим \beta
. Поскольку HK\perp AC
и DK\perp AC
, то DKH
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AC
, поэтому \beta=\angle DKH
. Из прямоугольного треугольника DKH
находим, что
DK=\sqrt{DH^{2}+KH^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
\sin\beta=\sin\angle DKH=\frac{DH}{DK}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}}=2\sqrt{\frac{3}{13}}.
г) Двугранный угол пирамиды при боковом ребре обозначим \gamma
. Из середины N
ребра AB
опустим перпендикуляр NF
на ребро DC
. Тогда прямая DC
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
(по теореме о трёх перпендикулярах) и NF
плоскости AFB
. Значит, плоскость AFB
перпендикулярна прямой DC
, поэтому AFB
— линейный угол двугранного угла пирамиды при боковом ребре DC
, т. е. \angle AFB=\gamma
.
Прямая AB
перпендикулярна плоскости CND
, поэтому FN\perp AB
. Медиана FN
треугольника AFB
является его высотой, значит, FN
— биссектриса угла AFB
, поэтому \angle AFN=\frac{\gamma}{2}
.
Из прямоугольных треугольников CFN
и AFN
находим, что
NF=CN\sin\angle FCN=CN\sin\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4},
\tg\frac{\gamma}{2}=\tg\angle AFN=\frac{AN}{NF}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{3a}{4}}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
\cos\gamma=\frac{1-\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.