14507. Углы между некоторой плоскостью и сторонами правильного треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что синус одного из этих углов равен сумме синусов двух других.
Решение. Пусть ABC
— правильный треугольник со стороной a
и углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно, а A'
, B'
и C'
— ортогональные проекции точек соответственно A
, B
и C
на прямую, перпендикулярную данной плоскости. Угол прямой с плоскостью дополняет до 90^{\circ}
угол между этой прямой и прямой, перпендикулярной плоскости, значит,
A'B'=AB\cos(90^{\circ}-\gamma)=a\sin\gamma,~A'C'=a\sin\beta,~B'C'=a\sin\alpha.
Предположим, что точка C'
лежит между A'
и B'
. Тогда
A'B'=B'C'+A'C',~\mbox{или}~a\sin\gamma=a\sin\alpha+a\sin\beta.
Следовательно,
\sin\gamma=\sin\alpha+\sin\beta.