14508. Ребро AD
тетраэдра ABCD
перпендикулярно плоскости ABC
. Докажите что ортогональная проекция на плоскость BCD
ортоцентра треугольника ABC
есть ортоцентр треугольника BCD
.
Решение. Пусть BK
— высота треугольника ABC
. Прямая BK
перпендикулярна плоскости ACD
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым AD
и AC
этой плоскости. Тогда BK\perp CD
. По теореме о трёх перпендикулярах ортогональная проекция прямой BK
на плоскость BCD
перпендикулярна CD
, значит, эта проекция содержит высоту треугольника BCD
, проведённую из вершины B
. Аналогично, если CL
— вторая высота треугольника ABC
, то ортогональная проекция прямой CL
на плоскость BCD
содержит высоту треугольника BCD
, проведённую з вершины C
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 2.12, с. 31
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 2.14, с. 21