14515. Через высоту правильного треугольника со стороной a
проведена плоскость, перпендикулярная плоскости треугольника, и в этой плоскости взята прямая l
, параллельная высоте треугольника. Найдите объём тела, полученного при вращении треугольника вокруг прямой l
.
Ответ. \frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{24}
.
Решение. Пусть точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN=2d
на расстоянии x
от него. В плоскости OMN
рассмотрим фигуру вращения отрезка MN
вокруг точки O
— кольцо, внутренний радиус которого равен x
, а внешний — \sqrt{d^{2}+x^{2}}
. Площадь этого кольца равна
\pi(d^{2}+x^{2})-\pi x^{2}=\pi d^{2},
т. е. площади круга радиуса d
, а значит, не зависит от x
.
Вернёмся к нашей задаче. Рассмотрим сечение тела вращения вокруг прямой l
плоскостью, перпендикулярной высоте AH
данного правильного треугольника ABC
со стороной a
, т. е. кольцо, площадь которого по доказанному не зависит от положения прямой l
, а значит, в качестве прямой l
можно взять прямую AH
. Тогда тело вращения — конус, высота которого равна AH
, а радиус основания — половина отрезка BC
. По принципу Кавальери объём рассматриваемого тела равен объёму этого конуса, т. е.
V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{4}BC^{2}\cdot AH=\frac{1}{2}\pi\cdot\frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{24}.