14519. В тетраэдре ABCD
все плоские углы при вершине D
прямые. Пусть \angle CAD=\alpha
, \angle CBD=\beta
и \angle ACB=\varphi
. Докажите, что \cos\varphi=\sin\alpha\sin\beta
.
Решение. Обозначим CD=a
. Из прямоугольных треугольников ADC
, BDC
и ADB
получаем
AC=\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{a}{\sin\alpha},~AD=CD\ctg\angle CAD=a\ctg\alpha,
BC=\frac{CD}{\sin\angle CBD}=\frac{a}{\sin\beta},~BD=CD\ctg\angle CBD=a\ctg\beta,
AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=a^{2}(\ctg^{2}\alpha+\ctg^{2}\beta)=a^{2}\left(\frac{1}{\sin^{2}\alpha}+\frac{1}{\sin^{2}\beta}-2\right).
По теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\varphi,
или
a^{2}\left(\frac{1}{\sin^{2}\alpha}+\frac{1}{\sin^{2}\beta}-2\right)=\frac{a^{2}}{\sin^{2}\alpha}+\frac{a^{2}}{\sin^{2}\beta}-2\cdot\frac{a}{\sin\alpha}\cdot\frac{a}{\sin\beta}\cdot\cos\varphi,
откуда \cos\varphi=\sin\alpha\sin\beta
. Что и требовалось доказать.