1452. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC
, AHC
и AHB
равен треугольнику ABC
.
Указание. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников BHC
, AHC
и AHB
равны.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры описанных окружностей треугольников BHC
, AHC
и AHB
соответственно. Докажем сначала, что эти окружности равны. В самом деле, если R
и R_{1}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABC
и BHC
, то
R_{1}=\frac{AC}{2\sin\angle BHC}=\frac{AC}{2\sin(180^{\circ}-\angle BHC)}=
=\frac{AC}{2\sin\angle BAC}=R.
Аналогично для остальных окружностей.
Четырёхугольники AO_{2}HO_{3}
и HO_{2}CO_{1}
— ромбы, поэтому
AO_{3}=O_{2}H=CO_{1},~AO_{3}\parallel O_{2}H\parallel CO_{1}.
Аналогично
AO_{2}=BO_{1},~AO_{2}\parallel BO_{1}.
Значит, треугольники O_{2}AO_{3}
и BO_{1}C
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, O_{2}O_{3}=BC
. Аналогично O_{1}O_{3}=AC
и O_{1}O_{2}=AB
.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 94, с. 39