14529. Радиусы двух непересекающихся окружностей равны R
и r
; расстояние между их центрами равно a
. В каких пределах может изменяться длина общей касательной к этим шарам?
Ответ. От \sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}
до \sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}}
.
Решение. Пусть A
и B
— центры данных шаров радиусов R
и r
соответственно, M
и N
соответственно — точки, в которых прямая касается этих шаров. Через точку N
проведём плоскость, перпендикулярную прямой MN
. Тогда точка B
лежит в этой плоскости. Пусть C
— ортогональная проекция точки A
на эту плоскость.
Радиус AM
первой окружности перпендикулярен проектирующей прямой MN
, поэтому ортогональная проекция CN
отрезка AM
на проведённую плоскость равна и параллельна AM
. Стороны CN
и BN
треугольника BNC
равны R
и r
соответственно, значит,
|R-r|\leqslant BC\leqslant R+r.
Поскольку ACMN
— прямоугольник, а треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, то
MN=AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{a^{2}-BC^{2}}.
Следовательно,
\sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}\leqslant MN\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}}.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 4.4, с. 62
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 4.3, с. 46