1453. В окружность вписан равносторонний треугольник. Докажите, что хорда, соединяющая середины дуг, отсекаемых сторонами треугольника, делится этими сторонами на три равные части.
Указание. Пусть ABC
— равносторонний треугольник, D
и E
— середины меньших дуг AB
и AC
его описанной окружности, F
и G
— точки пересечения хорды DE
со сторонами AB
и AC
соответственно. Докажите, что AFD
и AGE
— равнобедренные треугольники.
Решение. Пусть ABC
— равносторонний треугольник, D
и E
— середины меньших дуг AB
и AC
его описанной окружности, F
и G
— точки пересечения хорды DE
со сторонами AB
и AC
соответственно.
Поскольку меньшие дуги DB
и EC
равны, то DE\parallel BC
, поэтому треугольник AFG
— равносторонний. Далее имеем:
\angle ADF=\angle FAD=\angle EAG=\angle AEG,
следовательно,
FD=AF=FG=AG=EG.