14531. Докажите, что попарные углы между биссектрисами плоских углов трёхгранного угла либо одновременно острые, либо одновременно тупые, либо одновременно прямые.
Решение. На рёбрах трёхгранного угла отложим от его вершины S
единичные векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
. Векторы \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}
и \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
задают биссектрисы плоских углов данного трёхгранного угла. Поскольку
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=1+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c},
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+1+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c},
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^{2}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+1,
то эти скалярные произведения равны. Значит, косинусы углов между биссектрисами либо все равны нулю, либо все имеют одинаковые знаки. Отсюда следует утверждение задачи.