14532. Плоские углы трёхгранного угла равны \alpha
, \beta
и \gamma
; противолежащие им рёбра образуют с плоскостями граней углы a
, b
и c
. Докажите, что
\sin\alpha\sin a=\sin\beta\sin b=\sin\gamma\sin c.
Решение. На расстоянии 1 от каждой грани данного трёхгранного угла проведём плоскость, параллельную этой грани и пересекающую ребро трёхгранного угла. Получим параллелепипед с равными высотами, а значит, с равновеликими гранями (объём параллелепипеда равен произведению площади грани на высоту, опущенную на плоскость этой грани). Из прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом a
(b
, c
) получаем, что рёбра этого параллелепипеда (гипотенузы) равны \frac{1}{\sin a}
, \frac{1}{\sin b}
и \frac{1}{\sin c}
, а тогда площади граней равны
\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\sin b}\cdot\sin\gamma=\frac{\sin\gamma}{\sin a\sin b},
\frac{1}{\sin b}\cdot\frac{1}{\sin c}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sin b\sin c},
\frac{1}{\sin c}\cdot\frac{1}{\sin a}\cdot\sin\beta=\frac{\sin\beta}{\sin a\sin c}.
Следовательно,
\sin\alpha\sin a=\sin\beta\sin b=\sin\gamma\sin c.