1454. Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.
Указание. Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Решение. Пусть вневписанная окружность (с центром O
) треугольника ABC
касается стороны AB
в точке K
, а продолжений сторон CA
и CB
— в точках L
и M
соответственно. Обозначим через p
полупериметр треугольника. Тогда
2p=AB+BC+AC=(AK+KB)+BC+AC=
=(AL+BM)+BC+AC=(AL+AC)+(BM+BC)=CL+CM,
поэтому CL=CM=p
.
Поскольку OL=OM=p
, то четырёхугольник OLCM
— ромб, а так как OL\perp CM
, то это квадрат. Следовательно, \angle ACB=90^{\circ}
.