14541. Дана треугольная призма ABCA'B'C'
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
CC'
. На диагоналях AB'
, BC'
, CA'
боковых граней призмы отмечены точки D
, E
, F
соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость DEF
делит отрезок AA'
, если AD:DB'=1:1
, BE:EC'=1:2
, CF:FA'=1:3
.
Ответ. 3:4
.
Решение. Пусть плоскость DEF
пересекает прямые AA'
, BB'
и CC'
в точках K
, L
и M
соответственно. Обозначим AK=x
и KA'=y
.
Из равенства треугольников ADK
и B'DL
получаем, что
LB'=AK=x.
Тогда BL=y
.
Из подобия треугольников C'EM
и BEL
получаем, что
MC'=2BL=2y.
Тогда
CM=x+y-2y=x-y.
Из подобия треугольников A'FK
и CFM
получаем, что
KA'=3CM=3(x-y).
Из равенства 3(x-y)=y
находим, что
\frac{AK}{KA'}=\frac{x}{y}=\frac{4}{3}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, № 6, вариант 201