14543. Высота правильной треугольной призмы ABCA'B'C'
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
и CC'
равна 1. Найдите длину ребра основания, если известно, что AB'\perp BC'
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть H
— середина ребра BC
. Прямая AH
перпендикулярна пересекающимся прямым BC
и BB'
плоскости грани BB'C'C
, поэтому AH
— перпендикуляр к этой плоскости, а B'H
— ортогональная проекция наклонной AB'
на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах HB'\perp BC'
.
Пусть отрезки BC'
и HB'
пересекаются в точке K
. Обозначим BC=a
, \angle BB'H=\angle BC'B'=\alpha
. Тогда из прямоугольных треугольников HBB'
и BB'C'
получаем
\tg\alpha=\frac{BH}{BB'}=\frac{\frac{a}{2}}{1}=\frac{a}{2},~\tg\alpha=\frac{BB'}{B'C'}=\frac{1}{a}.
Из равенства \frac{a}{2}=\frac{1}{a}
находим, что BC=a=\sqrt{2}
.
Примечание. Также можно применить метод координат или скалярное произведение векторов.