1455. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
; M
— середина дуги, не содержащей точки A
. Докажите, что угол OMA
равен полуразности углов C
и B
треугольника ABC
.
Указание. Выразите углы равнобедренного треугольника AOB
через углы треугольника ABC
.
Решение. Обозначим углы A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть \gamma\gt\beta
. Поскольку AM
— биссектриса угла BAC
, то
\angle AOM=\alpha+2\beta.
Из равнобедренного треугольника AOM
находим, что
\angle OMA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-2\beta)=
=\frac{1}{2}(\gamma+\beta-2\beta)=\frac{\gamma-\beta}{2}.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 116, с. 42