14569. Докажите, что у выпуклого четырёхгранного угла с равными плоскими углами существует сечение, являющееся ромбом.
Решение. Рассмотрим выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S
и равными плоскими углами. На двух противоположных рёбрах отложим отрезки SA=SC
. Пусть P
— точка пересечения этого отрезка с плоскостью, проходящей через оставшиеся два ребра. Проведём через точку P
прямую, пересекающую эти два ребра в точках B
и D
, равноудалённых от точки S
. Докажем, что ABCD
— ромб.
Действительно, поскольку плоские углы при трёхгранного угла равны, SA=SC
и SB=SD
, то треугольники ASB
, CSB
, CSD
и ASD
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
AB=CB=CD=AD,
т. е. ABCD
— ромб.