14570. Докажите, что в многогранном угле любой плоский угол меньше суммы всех остальных плоских углов.
Решение. Пусть OA_{1}A_{2}\dots A_{n}
— произвольный многогранный угол с вершиной O
. Тогда (см. задачу 7428)
\angle A_{1}OA_{2}\lt\angle A_{2}OA_{3}+\angle A_{1}OA_{3},
\angle A_{1}OA_{3}\lt\angle A_{3}OA_{4}+\angle A_{1}OA_{4},\dots,\angle A_{1}OA_{n-1}\lt\angle A_{n-1}OA_{n}+\angle A_{n}OA_{1}.
Следовательно,
\angle A_{1}OA_{2}\lt\angle A_{2}OA_{3}+\angle A_{3}OA_{4}+\dots+\angle A_{n-1}OA_{n}+\angle A_{n}OA_{1}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 5.17, с. 84
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 6.22, с. 78