14572. а) Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в двух различных точках A
и B
. Докажите, что существует единственная сфера, содержащая эти окружности.
б) Две касающиеся окружности (т. е. касающиеся одной прямой в одной и той же точке) не лежат в одной плоскости. Докажите, что существует единственная сфера, содержащая эти окружности.
Решение. а) Пусть окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
и радиусами R_{1}
и R_{2}
соответственно лежат в разных плоскостях и пересекаются в различных точках A
и B
. Рассмотрим плоскость, проходящую через середину M
отрезка AB
перпендикулярно AB
. В этой плоскости из точек O_{1}
и O_{2}
восставим перпендикуляры к прямым O_{1}M
и O_{2}M
. Докажем, что точка O
пересечения этих перпендикуляров есть центр сферы, содержащей данные окружности.
Заметим, что OO_{1}
и OO_{2}
— перпендикуляры к плоскостям данных окружностей. Пусть X
и Y
— произвольные точки окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, отличные от A
и B
. Из равенства прямоугольных треугольников OO_{1}X
и AOX
(по двум катетам) получаем, что OX=OA
. Аналогично, OY=OA
. Значит, OX=OY
. Следовательно, все точки обеих окружностей равноудалены от точки O
, т. е. лежат на сфере с центром O
радиуса OA=OB
.
Предположим, что точка O'
— центр ещё одной сферы, содержащей данные окружности. Тогда точка O'
равноудалена от A
и B
, а значит, лежит в плоскости \gamma
, проходящей через середину отрезка AB
перпендикулярно AB
. В то же время, точка O'
лежит на перпендикулярах к плоскостям данных окружностей, восставленных в точках O_{1}
и O_{2}
, а значит, лежащих в плоскости \alpha
. Таким образом, точка O'
совпадает с O
, а радиус этой сферы равен O'A=OA
. Отсюда следует единственность такой сферы.
б) Доказательство аналогично изложенному выше (в качестве точки M
берётся точка касания окружностей).