14575. Даны сфера, окружность на ней и точка P
не принадлежащая сфере. Докажите, что вторые точки пересечения сферы с прямыми, соединяющими точку P
с точками сферы, лежат на одной окружности.
Решение. Пусть A
— фиксированная точка данной окружности, A_{1}
— вторая точка пересечения прямой PA
со сферой. Рассмотрим сферу \Omega
, проходящую через точку P
и данную окружность (центр сферы \Omega
— точка пересечения плоскости, проходящей через середину отрезка PA
перпендикулярно этому отрезку, и прямой, проходящей через центр данной окружности перпендикулярно её плоскости).
Пусть \Pi
— касательная плоскость к сфере \Omega
в точке P
, B
— отличная от A
произвольная точка данной окружности, B_{1}
— вторая точка пересечения прямой PB
со сферой. Плоскость A_{1}PB_{1}
пересекается с плоскостью \Pi
по прямой l
— касательной к описанной окружности треугольника A_{1}PB_{1}
. На прямой l
отметим точку L
, лежащую с точкой B_{1}
по разные стороны от прямой PA_{1}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle LPA=\angle ABP
, а так как четырёхугольник AA_{1}B_{1}B
вписанный, то
\angle PA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle ABB_{1}=\angle ABP.
Значит, \angle PA_{1}B_{1}=\angle LPA
, поэтому точка B_{1}
лежит в плоскости, проходящей через точку A_{1}
параллельно плоскости \Pi
, т. е. на окружности пересечения этой плоскости с данной сферой. Отсюда следует утверждение задачи.