14579. Основанием пирамиды TABCD
является трапеция ABCD
(BC\parallel AD
). Расстояния от точек A
и B
до плоскости TCD
равны r_{1}
и r_{2}
соответственно. Площадь треугольника TCD
равна S
. Найдите объём пирамиды TABCD
.
Ответ. \frac{S(r_{1}+r_{2})}{3}
.
Решение. Объём пирамиды TABCD
равен сумме объёмов пирамид TBCD
и TABD
. Причём V_{TABD}=V_{TACD}
, так как у пирамид TABD
и TACD
общая высота, проведённая из общей вершины T
, а также равны площади оснований: S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}
(у этих треугольников общее основание AD
и равные высоты, проведённые из вершин B
и C
, поскольку ABCD
— трапеция) Следовательно,
V_{TABCD}=V_{TBCD}+V_{TACD}=\frac{1}{3}\cdot S\cdot r_{2}+\frac{1}{3}\cdot S\cdot r_{1}=\frac{S(r_{1}+r_{2})}{3}.
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2021, № 6, 11 класс