1458. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Докажите, что четыре точки, в которых перпендикуляры, опущенные из точки O
на стороны AB
и CD
, пересекают диагонали AC
и BD
, лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, указанные перпендикуляры проходят через середины M
и N
сторон AB
и CD
.
Пусть прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно AB
, пересекает прямые AC
и BD
в точках P
и Q
, а прямая, проходящая через O
перпендикулярно CD
— в точках R
и S
. Предположим, что точка P
лежит между точками A
и F
, а точка Q
— между D
и F
, где F
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Тогда
\angle PQS=90^{\circ}+\angle MBQ=90^{\circ}+\angle ABD,~\angle PRS=\angle CRN=90^{\circ}-\angle ACD,
а так как \angle ABD=\angle ACD
, то
\angle PQS+\angle PRS=90^{\circ}+\angle ABD+90^{\circ}-\angle ACD=180^{\circ},
следовательно, точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Аналогично для остальных случаев.