14584. Около правильного тетраэдра KLMN
описана сфера. Основания правильных пирамид AKLM
, BKMN
, CKLN
и DLMN
совпадают с гранями тетраэдра; пирамиды лежат вне тетраэдра и вписаны в ту же сферу. Сумма объёмов тетраэдра и пирамид равна 250\sqrt{2}
. Найдите площадь треугольника AKB
.
Ответ. 25
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около данного правильного тетраэдра KLMN
с ребром a
, NH=LP=h
— высота тетраэдра KLMN
. Поскольку AKML
— правильная треугольная пирамида с вершиной A
, вписанную в ту же сферу, то точки N
, O
, H
и A
лежат на диаметре NA
сферы, причём
ON=OA=R=\frac{3}{4}h,~AH=OA-OH=R-OH=\frac{3}{4}h-\frac{1}{4}h=\frac{1}{2}h.
Значит, высота AH
правильной пирамиды AKML
равна половине высоты правильного тетраэдра KLMN
, а так как правильный треугольник KLM
— общее основание правильного тетраэдра и этой пирамиды, то объём V_{1}
пирамиды вдвое меньше объёма V_{0}
тетраэдра KLMN
. Аналогично для трёх остальных правильных пирамид BKMN
, CKLN
и DLMN
. Тогда
V_{0}+4V_{1}=V_{0}+4\cdot\frac{1}{2}V_{0}=3V_{0}=250\sqrt{2},
а так как
V_{0}=\frac{1}{3}S_{\triangle KLM}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12},
то
3\cdot\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}=250\sqrt{2},
откуда a=10
.
Четырёхугольник ABNL
, вписанный в сечение сферы плоскостью пересекающихся прямых NA
и LB
, — прямоугольник, поэтому AB=LN=a
. Из прямоугольного треугольника AHK
находим, что
AK=\sqrt{AH^{2}+HK^{2}}=\sqrt{\frac{h^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{3}}=\sqrt{\frac{1}{4}a^{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a}{\sqrt{2}},
а так как прямоугольные треугольники AHK
и BPM
равны, то
BK=AK=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Таким образом стороны треугольника AKB
равны
AB=a,~BK=AK=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Значит, этот треугольник прямоугольный и равнобедренный. Следовательно,
S_{\triangle AKB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}a^{2}=\frac{1}{4}\cdot100=25.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2015, отборочный интернет-этап, задача 5, 10-11 классы