14585. Тетраэдр ABCD
таков что \angle BAD=60^{\circ}
, \angle BAC=40^{\circ}
, \angle ABD=80^{\circ}
, а угол между рёбрами AB
и CD
равен 90^{\circ}
. Найдите \angle ABC
.
Ответ. 70^{\circ}
Решение. Проведём высоту DH
треугольника ABD
. Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым CD
и DH
плоскости CDH
, поэтому прямая AB
перпендикулярна этой плоскости. Тогда CH
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=x
. Получаем
\frac{\tg\angle DBA}{\tg\angle DAB}=\frac{DH\ctg\angle DAB}{DH\ctg\angle DBA}=\frac{AH}{HB}=\frac{CH\ctg\angle CAB}{CH\ctg\angle CBA}=\frac{\ctg\angle CAB}{\ctg\angle CBA},
откуда
\tg x=\tg\angle CBA=\frac{\tg\angle CAB\tg\angle DBA}{\tg\angle DAB}=\frac{\tg80^{\circ}\tg40^{\circ}}{\tg60^{\circ}}.
Поскольку
\tg80^{\circ}\tg40^{\circ}=\tg(60^{\circ}+20^{\circ})\tg(60^{\circ}-20^{\circ})=
=\frac{\tg60^{\circ}+\tg20^{\circ}}{1-\tg60^{\circ}\tg20^{\circ}}\cdot\frac{\tg60^{\circ}-\tg20^{\circ}}{1+\tg60^{\circ}\tg20^{\circ}}=\frac{\tg^{2}60^{\circ}-\tg^{2}20^{\circ}}{1-\tg^{2}60^{\circ}\tg^{2}20^{\circ}}=\frac{3-\tg^{2}20^{\circ}}{1-3\tg^{2}20^{\circ}},
а по формуле тангенса тройного угла
\tg60^{\circ}=\tg(3\cdot20^{\circ})=\tg20^{\circ}\cdot\frac{3-\tg^{2}20^{\circ}}{1-3\tg^{2}20^{\circ}},
то
\tg x=\frac{\tg80^{\circ}\tg40^{\circ}}{\tg60^{\circ}}=\frac{\frac{3-\tg^{2}20^{\circ}}{1-3\tg^{2}20^{\circ}}}{\tg20^{\circ}\cdot\frac{3-\tg^{2}20^{\circ}}{1-3\tg^{2}20^{\circ}}}=\ctg20^{\circ}.
Следовательно, x=70^{\circ}
(так как угол ABC
, очевидно, острый).