14590. Докажите, что центр вписанной в тетраэдр сферы лежит внутри тетраэдра, образованного точками касания.
Решение. Пусть сфера центром I
вписана в трёхгранный угол с вершиной S
. Точки S
и I
лежат по разные стороны от плоскости, проходящей через точки касания сферы с гранями трёхгранного угла (достаточно рассмотреть осевое сечение конуса с вершиной S
, окружность основания которого проходит через эти три точки). Значит, вершина D
тетраэдра ABCD
и центр вписанной в него сферы лежат по разные стороны от плоскости, проходящей через точки касания сферы с гранями ABD
, ACD
и BCD
. Аналогично для остальных вершин тетраэдра. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.3, с. 100
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.7, с. 109