14596. На основании ABC
треугольной пирамиды SABC
взята точка M
, и через неё проведены прямые, параллельные рёбрам SA
, SB
и SC
и пересекающие боковые грани BSC
, ASC
и ASB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что
\frac{MA_{1}}{SA}+\frac{MB_{1}}{SB}+\frac{MC_{1}}{SC}=1.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает ребро BC
в точке P
. Поскольку MA_{1}\parallel SA
, точка A_{1}
лежит в плоскости ASP
, поэтому точка A_{1}
лежит на отрезке SP
. Тогда
\frac{MA_{1}}{SA}=\frac{MP}{AP}=\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle ABC}}.
Аналогично,
\frac{MB_{1}}{SB}=\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{MC_{1}}{SC}=\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle ABC}}.
Следовательно,
\frac{MA_{1}}{SA}+\frac{MB_{1}}{SB}+\frac{MC_{1}}{SC}=\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{S_{\triangle BMC}+S_{\triangle AMC}+S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.56, с. 107
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 9.4, с. 143