14599. Дана пирамида ABCD
, вершина A
которой лежит на одной сфере с серединами всех рёбер, кроме ребра AD
. Известно, что AB=1
, BD=2
, CD=3
. Найдите ребро BC
. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Ответ. BC=\sqrt{7}
, R_{\min}=\sqrt{\frac{7}{3}}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
, N
, P
— середины рёбер AB
, BD
, CD
, AC
, BC
соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что KLMN
и AKPN
— параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями KLM
и ABC
, поэтому эти параллелограммы — прямоугольники. Угол BAC
прямой, а прямые AD
и BC
перпендикулярны, так как AD\parallel KL
, BC\parallel LM
и KL\perp LM
.
Отметим в плоскости ABC
такую точку D'
, что треугольник BCD'
равен треугольнику BCD
, а точки A
и D'
лежат по разные стороны от прямой BC
(треугольник BCD'
может быть получен из треугольника BCD
поворотом вокруг прямой BC
). Из равенства этих треугольников следует, что основания их высот, опущенных на общую сторону BC
, — одна и та же точка, назовём её H
.
Пусть AF
— высота пирамиды ABCD
, а прямая DF
пересекает BC
в точке H'
. Тогда прямая BC
перпендикулярна плоскости пересекающихся прямых AD
и DH'
, поэтому BC\perp AH'
и BC\perp DH
, т. е. AH'
и DH'
— высоты треугольников ABC
и DBC
. Следовательно, точка H'
совпадает с H
, а точка H
лежит на отрезке AD'
.
Диагонали BC
и AD'
четырёхугольника ABD'C
перпендикулярны, поэтому суммы квадратов противоположных сторон равны (см. задачу 1344). Значит,
AC^{2}=AB^{2}+CD'^{2}-BD'^{2}=AB^{2}+CD^{2}-BD^{2}=1+9-4=6.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{1+6}=\sqrt{7}.
Радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD
, не меньше радиуса R
окружности, описанной около грани BCD
. Докажем, что существует пирамида, удовлетворяющая условию задачи, для которой радиус описанной сферы равен этому R
.
Рассмотрим сферу радиуса R
и окружность её сечения, проходящего через центр сферы. Впишем в эту окружность треугольник BCD
со сторонами BC=\sqrt{7}
, CD=3
, BD=2
, и через прямую BC
проведём плоскость, перпендикулярную плоскости этого треугольника. В сечении сферы этой плоскостью получится окружность с диаметром BC
, в которую впишем прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. Тогда пирамида ABCD
удовлетворяет нашему условию.
Действительно, радиус её описанной сферы равен радиусу R
описанной окружности треугольника BCD
, рёбра AB
, BD
и CD
равны 1, 2 и 3 соответственно, середины указанных в условии рёбер лежат на одной сфере: её центр — точка пересечения лежащих в одной плоскости перпендикуляров к плоскостям ABC
и KLM
, проведённых соответственно через центры прямоугольников AKDN
и KLMN
(т. е. в плоскости, перпендикулярной отрезку KN
и проходящей через его середину).
Вычислим R
. По теореме косинусов
\cos\angle BDC=\frac{CD^{2}+BD^{2}-BC^{2}}{2CD\cdot BD}=\frac{9+4-7}{2\cdot3\cdot2}=\frac{1}{2},
поэтому \angle BDC=60^{\circ}
. Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}=\frac{BC}{2\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2022, № 7, вариант 1, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2022, № 11-12, с. 44