1460. В выпуклом четырёхугольнике ABKC
сторона AB
равна \sqrt{3}
, диагональ BC
равна 1
, а углы ABC
, BKA
и BKC
равны 120^{\circ}
, 30^{\circ}
и 60^{\circ}
соответственно. Найдите сторону BK
.
Ответ. \sqrt{\frac{6}{5}}
.
Указание. Докажите, что \angle BCK=90^{\circ}+\angle BAK
и примените теорему синусов к треугольникам ABK
и BKC
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABKC
. Обозначим \angle BAK=\alpha
. Тогда
\angle KMC=\angle AMB=60^{\circ}-\alpha,~\angle BCK=180^{\circ}-\angle KMC-\angle MKC=90^{\circ}+\alpha.
Применяя теорему синусов к треугольникам ABK
и BCK
, получим:
\frac{BK}{\sin\alpha}=\frac{AB}{\sin30^{\circ}}=2\sqrt{3},
\frac{BK}{\cos\alpha}=\frac{BC}{\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}},
откуда находим \tg\alpha=\frac{1}{3}
. Значит, \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}
. Следовательно,
BK=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\alpha=\sqrt{\frac{6}{5}}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — , вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 102