14600. Сфера делит каждое из рёбер куба на три равные части. Найдите площадь сферы, если ребро куба равно a
.
Ответ. \frac{19}{9}\pi a^{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
— ортогональная проекция центра O
данной сферы радиуса R
на плоскость грани ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, M
и N
— точки пересечения сферы с ребром AB
, AM=MN=NB
, K
— середина ребра AB
.
Тогда O_{1}
— центр окружности сечения данной сферы плоскостью грани ABCD
. Поскольку равные хорды окружности равноудалены от её центра, точка O_{1}
— центр этой окружности. Аналогично для ортогональных проекций точки O
на остальные грани куба. Точка O
удалена от точек деления сферой всех рёбер куба на расстояние R
, поэтому точка O
равноудалена от плоскостей всех его граней. Следовательно, O
— центр куба.
Из прямоугольных треугольников O_{1}KM
и OO_{1}M
получаем
R^{2}=OO_{1}^{2}+O_{1}M^{2}=OO_{1}^{2}+(OK^{2}+KM^{2})=\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{36}=\frac{19}{36}a^{2}.
Пусть S
— площадь сферы. Тогда
S=4\pi R^{2}=4\cdot\pi\cdot\frac{19}{36}a^{2}=\frac{19}{9}a^{2}.