14601. В конус вписаны две сферы радиусов R
и r
, касающиеся друг друга и боковой поверхности конуса, причём большая сфера касается основания конуса. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, отсечённого от данного конуса плоскостями окружностей касания сфер с данным конусом.
Ответ. 4\pi Rr
.
Решение. Пусть P
— вершина данного конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник APB
с вершиной P
и касающиеся внешним образом окружности радиусов R\gt r
, причём большая окружность вписана в треугольник APB
и касается боковых сторон PA
и PB
в точках K
и L
соответственно, а меньшая касается этих же сторон в точках M
и N
соответственно. Обозначим через R_{1}
и r_{1}
радиусы соответственно большего и меньшего оснований усечённого конуса, о котором говорится в условии, через l
— образующую усечённого конуса, а через S
— его боковую поверхность. Тогда
R_{1}=\frac{1}{2}KL,~r_{1}=\frac{1}{2}MN,~l=KM,~S=\pi(R_{1}+r_{1})l,
а так как
R_{1}+r_{1}=\frac{KL+MN}{2}=KM=2\sqrt{Rr}
(см. задачу 365), то
S=\pi(R_{1}+r_{1})l=\pi\cdot2\sqrt{Rr}\cdot2\sqrt{Rr}=4\pi Rr.