14602. Три попарно перпендикулярные хорды сферы радиуса 8 пересекаются в точке, удалённой от центра сферы на расстояние \sqrt{41}
. Две хорды равны 12 и 14. Найдите расстояние от центра сферы до третьей хорды.
Ответ. \sqrt{39}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, а её хорды AD=12
, BE=14
и CF
пересекаются в точке P
, OP=\sqrt{41}
. Опустим перпендикуляр OO_{1}
на плоскость пересекающихся прямых AD
и BE
. Тогда O_{1}
— центр окружности сечения сферы этой плоскостью. Опустим перпендикуляры O_{1}M
и O_{1}N
на хорды AD
и BE
соответственно. Тогда точки M
и N
— середины этих хорд. Из прямоугольных треугольников AMO
и BNO
находим, что
OM^{2}=OA^{2}-AM^{2}=8^{2}-6^{2}=28,
ON^{2}=OB^{2}-BN^{2}=8^{2}-7^{2}=15.
Расстояние от центра сферы до хорды CF
равно перпендикуляру OK
, опущенному на хорду CF
, т. е. диагонали OK
грани прямоугольного параллелепипеда с основанием O_{1}MPN
и диагональю OP
параллелепипеда. Из прямоугольных треугольников OMP
и ONP
находим, что
PM^{2}=OP^{2}-OM^{2}=41-15=26,
PN^{2}=OP^{2}-ON^{2}=41-28=13.
Следовательно,
OK=O_{1}P=\sqrt{PM^{2}+O_{1}M^{2}}=\sqrt{PM^{2}+PN^{2}}=\sqrt{26+13}=\sqrt{39}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 8.1, с. 156