14604. Вершина конуса находится в центре сферы, основание конуса касается этой сферы. Площадь полной поверхности конуса равна площади сферы. Найдите угол между образующей конуса и его высотой.
Ответ. \arcsin\frac{4}{5}
.
Решение. Обозначим через R
радиус сферы, через r
— радиус основания конуса, через l
его образующую. Пусть O
— центр сферы и вершина конуса. Рассмотрим сечение сферы и конуса плоскостью, проведённой через высоту OQ
конуса. Получим равнобедренный треугольник AOB
с основанием AB
, касающимся окружности сечения сферы в точке Q
— середине AB
.
Из прямоугольного треугольника AQO
получаем
OQ^{2}=OA^{2}-AQ^{2},~\mbox{или}~R^{2}=l^{2}-r^{2}.
По условию
\pi r^{2}+\pi rl=4\pi R^{2}~\Leftrightarrow~r^{2}+rl=4R^{2}~\Leftrightarrow~r^{2}+rl=4(l^{2}-r^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~5r^{2}+rl-4l^{2}=0~\Leftrightarrow~5\left(\frac{r}{l}\right)^{2}+\frac{r}{l}-4l^{2}=0.
Единственный положительный корень последнего уравнения — это \frac{r}{l}=\frac{4}{5}
.
Пусть \alpha
искомый угол между высотой конуса и его образующей. Тогда
\sin\alpha=\frac{QA}{OA}=\frac{r}{l}=\frac{4}{5}.
Следовательно, \alpha=\arcsin\frac{4}{5}
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 8.5, с. 157