14610. Объём шарового сегмента равен
V
. Цилиндр с тем же основанием и той же высотой имеет объём
Q
. Найдите высоту сегмента.
Ответ.
\sqrt[{3}]{{\frac{6V-3Q}{\pi}}}
.
Решение. Пусть основание цилиндра совпадает с основанием шарового сегмента,
R
,
r
и
h
— радиус шара, радиус основания цилиндра и высота цилиндра соответственно, а
O
и
O_{1}
— центры шара и окружности основания цилиндра. Тогда по условию
\syst{\pi h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)=V\\\pi r^{2}h=Q.\\}

Рассмотрим сечение шара и цилиндра плоскостью, проведённой через центр шара. Пусть
P
— точка на окружности основания цилиндра. Из прямоугольного треугольника с катетами
O_{1}P=r
,
OO_{1}=|R-h|
и гипотенузой
OP=R
получаем
r^{2}+(R-h)^{2}=R^{2},

откуда
r^{2}=2Rh-h^{2}
. Тогда полученную выше систему можно переписать в виде
\syst{3\pi Rh^{2}-\pi h^{3}=V\\2\pi Rh^{2}-\pi h^{3}=Q.\\}

Вычитая из первого уравнения второе, получим
\pi R^{2}h=3V-Q
. Подставив найденное значение
\pi R^{2}h
в любой из двух уравнений, найдём, что
\sqrt[{3}]{{\frac{6V-3Q}{\pi}}}
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 8.16, с. 157