14622. В каждый из трёхгранных углов тетраэдра вписана сфера. Эти четыре сферы имеют равные радиусы и имеют общую точку. Вычислите их радиус, если даны радиусы R
и r
описанной и вписанной сфер тетраэдра.
Ответ. \rho=\frac{Rr}{R\pm r}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры равных сфер, вписанных в трёхгранные углы при вершинах соответственно A
, B
, C
и D
тетраэдра ABCD
. Тогда рёбра тетраэдра O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
соответственно параллельны рёбрам тетраэдра ABCD
, поэтому эти два тетраэдра подобны (так как они гомотетичны). Пусть указанные четыре сферы пересекаются в точке M
, а их радиус равен \rho
.
Рассмотрим случай, когда r\gt\rho
. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла, а грани тетраэдра O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
и ABCD
соответственно параллельны, поэтому центры вписанных сфер этих тетраэдров совпадают.
Центр сферы, описанной около тетраэдра O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— точка M
, её радиус равен расстоянию от точки M
до каждой из его вершин, т. е. \rho
, а радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр, равен разности r-\rho
. Тогда из подобия получаем пропорцию \frac{r-\rho}{\rho}=\frac{r}{R}
, откуда находим, что \rho=\frac{Rr}{R+r}
.
Если же точка r\lt\rho
, то аналогично получаем пропорцию \frac{\rho-r}{\rho}=\frac{r}{R}
, из которой находим, что \rho=\frac{Rr}{R-r}
.
Случай r=\rho
невозможен, так как тогда четыре указанные в условии сферы совпадают с вписанной сферой тетраэдра.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 20, с. 239