14629. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с углом \alpha
радиан и хордой a
. Найдите объём конуса.
Ответ. \frac{\alpha^{2}a^{3}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}}{192\pi^{2}\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть l
, r
, h
и V
— образующая, радиус основания конуса, высота конуса и его объём соответственно. Тогда радиус сектора равен l
. Из равнобедренного треугольника с основанием a
, противолежащим углом \alpha
и боковыми сторонами l
находим, что l=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}
.
Поскольку радианная мера дуги сектора по условию равна \alpha
, то длина дуги сектора равна \alpha l
. С другой стороны, длина этой дуги равна длине окружности основания конуса, т. е. 2\pi r
. Из равенства \alpha l=2\pi r
находим, что
r=\frac{\alpha l}{2\pi}=\frac{\alpha\cdot\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}}{2\pi}=\frac{\alpha a}{4\pi\sin\frac{\alpha}{2}}.
Тогда
h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{\frac{4\pi^{2}r^{2}}{\alpha^{2}}-r^{2}}=\frac{r}{\alpha}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}=\frac{a\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}}{4\pi\sin\frac{\alpha}{2}}
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{\alpha a}{4\pi\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{a\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}}{4\pi\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\alpha^{2}a^{3}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}}{192\pi^{2}\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}.