1463. AD
— биссектриса треугольника ABC
, E
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
вписанной окружности на сторону BC
. Докажите, что \angle BOE=\angle COD
.
Указание. Выразите указанные углы через углы треугольника ABC
.
Решение. Пусть 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
— углы треугольника ABC
. Тогда
\angle BOE=90^{\circ}-\angle OBE=90^{\circ}-\beta.
Поскольку угол COD
— внешний угол треугольника AOC
,
\angle COD=\angle OAC+\angle OCA=\alpha+\gamma=90^{\circ}-\beta=\angle BOE.