14633. Грани двугранного угла, равного \alpha
, касаются конуса по его образующим. Найдите угол между этими образующими, если угол при вершине осевого сечения конуса равен \varphi
.
Ответ. \arccos\left(1-2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\tg^{2}\frac{\varphi}{2}\right)
.
Решение. Пусть O
— центр основания данного конуса с вершиной S
, а грани двугранного угла касаются конуса по его образующим SA
и SB
. Обозначим через \gamma
искомый угол ASB
.
Опустим перпендикуляры OM
и ON
на SA
и SB
соответственно. Пусть OM=ON=a
. Из прямоугольного треугольника OMS
находим, что
SN=SM=\frac{OM}{\tg\frac{\varphi}{2}}=\frac{a}{\tg\frac{\varphi}{2}}.
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника MSK
получаем
MN^{2}=SM^{2}+SN^{2}-2SM\cdot SN\cos\gamma=
=2SM^{2}(1-\cos\gamma)=\frac{2a^{2}(1-\cos\gamma)}{\tg^{2}\frac{\varphi}{2}}.
С другой стороны, поскольку OM
и OK
— перпендикуляры к граням данного двугранного угла, равного \alpha
, то \angle MOK=180^{\circ}-\alpha
. Тогда по теореме косинусов из равнобедренного треугольника MOK
получаем
MK^{2}=OM^{2}+ON^{2}-2OM\cdot ON\cos(180^{\circ}-\gamma)=
=2a^{2}(1+\cos\alpha)=4a^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}.
Из равенства
\frac{2a^{2}(1-\cos\gamma)}{\tg^{2}\frac{\varphi}{2}}=4a^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}
находим, что
\cos\gamma=1-2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\tg^{2}\frac{\varphi}{2}.
Следовательно,
\gamma=\arccos\left(1-2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\tg^{2}\frac{\varphi}{2}\right).
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 26, с. 240