14634. Площадь сферы равна S
. Найдите наименьшую площадь поверхности описанного около неё конуса.
Ответ. 2S
.
Решение. Пусть r
— радиус сферы, R
— радиус основания описанного около неё конуса, l
— образующая конуса. Рассмотрим сечение сферы и конуса плоскостью, проходящей через высоту конуса, — равнобедренный треугольник ASB
с основанием AB=2R
, боковыми сторонами SB=SA=l
и вписанную в него окружность радиуса r
с центром I
на высоте SO
конуса.
Пусть M
— точка касания окружности со стороной SA
. Тогда
SM=SA-AM=SA-OA=l-R,
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{l^{2}-R^{2}}.
Прямоугольные треугольники SMI
и SOA
подобны, поэтому
\frac{IM}{SM}=\frac{OA}{SO},~\mbox{или}~\frac{r}{l-R}=\frac{R}{\sqrt{l^{2}-R^{2}}},
откуда после очевидных преобразований получим, что l=\frac{R(R^{2}+r^{2})}{R^{2}-r^{2}}
.
По условию 4\pi r^{2}=S
, откуда r^{2}=\frac{S}{4\pi}
. Пусть Q
— площадь полной поверхности конуса. Тогда
Q(R)=\pi R^{2}+\pi Rl=\pi R(R+l)=\pi R\left(R+\frac{R(R^{2}+r^{2})}{R^{2}-r^{2}}\right)=
=\frac{2\pi R^{4}}{R^{2}-r^{2}}=\frac{2\pi R^{4}}{R^{2}-r^{2}}=\frac{2\pi t^{2}}{t-r^{2}},
где t=R^{2}
.
С помощью производной найдём наименьшее значение функции Q(t)
на промежутке t\gt r^{2}
:
Q'(t)=2\pi\cdot\frac{2t(t-r^{2})-t^{2}}{(t-r^{2})^{2}}=\frac{2\pi t(t-2r^{2})}{(t-r^{2})^{2}}.
Тогда на рассматриваемом промежутке Q'(t)=0
только при t=2r^{2}
, причём при t\gt2r^{2}
производная положительна, а при r^{2}\lt t\lt2r^{2}
— отрицательна. Значит, при t=2r^{2}
функция принимает наименьшее значение на этом промежутке. Это значение —
Q(2r^{2})=\frac{2\pi\cdot4r^{4}}{2r^{2}-r^{2}}=\frac{2\pi\cdot4r^{4}}{r^{2}}=8\pi r^{2}=8\pi\cdot\frac{S}{4\pi}=2S.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 34, с. 240