14638. В треугольной пирамиде ABCD
на её гранях BCD
и ACD
нашлись такие точки A'
и B
' соответственно, что
\angle AB'C=\angle AB'D=\angle BA'C=\angle BA'D=120^{\circ}.
Известно, что прямые AA'
и BB'
пересекаются. Докажите, что точки A'
и B'
равноудалены от прямой CD
.
Решение. Из условия задачи следует, что точки A
, A'
, B
, B'
лежат в одной плоскости, поэтому прямые BA'
и AB'
пересекают ребро CD
в одной точке X
. Из условия следует, что эти прямые содержат биссектрисы углов CA'D
и CB'D
соответственно. Отсюда, по свойству биссектрисы,
CA':A'D=CX:XD=CB':B'D,
а так как
\angle CA'D=\angle CB'D=120^{\circ},
то треугольники CA'D
и CB'D
подобны. Поскольку CD
— общая сторона этих треугольников, эти треугольники равны. В этих равных треугольниках равны соответствующие высоты, проведённые из вершин A'
и B'
. Это и требовалось доказать.