1464. Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон AB
и AC
, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A
.
Указание. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе этого угла.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон AB
и AC
соответственно; O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку точки O_{1}
и O_{2}
расположены на биссектрисах вертикальных углов с вершиной A
, то прямая O_{1}O_{2}
проходит через точку A
. Угол O_{1}AO
— это угол между биссектрисами смежных углов, поэтому \angle O_{1}AO=90^{\circ}
.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 113, с. 41