14640. Треугольная пирамида SABC
вписана в сферу \Omega
. Докажите, что сферы, симметричные \Omega
относительно прямых SA
, SB
, SC
и плоскости ABC
, имеют общую точку. (Сфера, симметричная данной относительно прямой — это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой.)
Решение. Первый способ. Обозначим через R
радиус описанной сферы \Omega
тетраэдра SABC
, через O
—её центр. Отметим точку O'
, симметричную точке O
относительно плоскости ABC
, и точку P
, для которой \overrightarrow{O'P}=\overrightarrow{OS}
(в случае, когда точки S
, O
и O'
не лежат на одной прямой, мы достроили треугольник SOO'
до параллелограмма SOO'P
). Поскольку O'P=OS=R
, точка P
лежит на сфере, симметричной сфере \Omega
относительно плоскости ABC
. Покажем, что точка P
лежит на сфере \Omega_{a}
, симметричной сфере \Omega
относительно прямой SA
. Рассуждение для двух других сфер аналогично.
Обозначим через O_{a}
центр сферы \Omega_{a}
. Эта точка симметрична точке O
относительно прямой SA
. Тогда четырёхугольник SOAO_{a}
— ромб (или точки O
и O_{a}
совпадают с серединой отрезка SA
). В любом случае \overrightarrow{AO_{a}}=\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{O'P}
. Значит, AO_{a}PO'
— параллелограмм, в котором PO'=R=O'A
, поэтому он ещё и ромб. Следовательно, O_{a}P=R
, откуда и следует, что точка P
лежит на сфере \Omega_{a}
.
Второй способ. Введём обозначения как в первом решении. Пусть также O_{b}
и O_{c}
— центры сфер, симметричных сфере \Omega
относительно прямых SB
и SC
соответственно. Покажем, что радиус сферы \gamma_{1}
, описанной около тетраэдра O'O_{a}O_{b}O_{c}
, равен R
. Тогда центр этой сферы окажется искомой точкой.
При гомотетии с центром в точке O
и коэффициентом \frac{1}{2}
указанная сфера перейдёт в сферу \gamma_{2}
, проходящую через середины рёбер SA
, SB
, SC
и центр O_{1}
описанной окружности треугольника ABC
. А при гомотетии с центром S
и коэффициентом 2 сфера \gamma_{2}
перейдёт в сферу \gamma_{3}
, которая проходит через точки A
, B
, C
и точку S'
, симметричную точке S
относительно точки O_{1}
1.
Заметим, что радиусы сфер \gamma_{1}
и \gamma_{3}
вдвое больше радиуса сферы \gamma_{2}
, а потому они равны. Наконец,
O'S'=OS=R=O'A=O'B=O'C,
поскольку точки O'
и O
, а также точки S
и S'
симметричны относительно точки O_{1}
. Таким образом, точка O'
— центр сферы \gamma_{3}
, а R
— её радиус. Тогда и радиус сферы \gamma_{2}
равен R
. Что и требовалось доказать.