14644. В треугольной пирамиде SABC
рёбра SB
и AB
перпендикулярны, а угол ABC
равен 120^{\circ}
. Точка D
на ребре AC
такова, что отрезок SD
перпендикулярен по меньшей мере двум медианам треугольника ABC
. Найдите AD
, если CD=AB=\sqrt[{3}]{{4}}
.
Ответ. 2.
Решение. Прямая SD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ABC
, поэтому SD
— перпендикуляр к этой плоскости, а так как наклонная CD
перпендикулярна прямой AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах DB\perp AB
.
Обозначим AD=x
, \angle BAC=\alpha
(0\lt\alpha\lt90^{\circ}
). Из прямоугольного треугольника ABD
получаем AB=x\cos\alpha
. Тогда
AC=AD+CD=AD+AB=x+x\cos\alpha.
По теореме синусов \frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{AC}{\sin\angle ABC}
, или
\frac{x\cos\alpha}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{x+x\cos\alpha}{\sin120^{\circ}}~\Leftrightarrow~\frac{\cos\alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{3}\cos^{2}\alpha=\sin\alpha(1+\cos\alpha)~\Leftrightarrow~3\cos^{4}\alpha=(1-\cos^{2}\alpha)(1+\cos\alpha)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4\cos^{4}\alpha+2\cos^{3}\alpha-2\cos\alpha-1=0~\Leftrightarrow~(2\cos\alpha+1)(2\cos^{3}\alpha-1)=0.
Поскольку 2\cos\alpha+1\gt0
, из последнего уравнения находим \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}}
. Следовательно,
AD=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt[{3}]{{4}}}{\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}}}=2.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 8, вариант 3, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 122