14645. В треугольной пирамиде PABC
рёбра PA
, PB
и PC
не длиннее, чем 3, 4 и 5 соответственно, а площади граней PAB
, PAC
и PBC
не меньше, чем 6, \frac{15}{2}
и 10 соответственно. Найдите объём пирамиды PABC
.
Ответ. 10.
Решение. Поскольку
6\leqslant S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}PA\cdot PB\sin\angle APB\leqslant\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot1=6,
то
S_{\triangle PAB}=6,~PA=3,~PB=4,~\angle APB=90^{\circ}.
Аналогично получим, что
S_{\triangle PAC}=\frac{15}{2},~PA=3,~PC=5,~\angle APC=90^{\circ},
S_{\triangle PBC}=10,~PB=4,~PC=5,~\angle BPC=90^{\circ}.
Прямая PB
перпендикулярна пересекающимся прямым PA
и PC
плоскости PAC
, поэтому PB
— высота пирамиды PABC
, опущенная на основание PAC
. Следовательно,
V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle APC}\cdot BP=\frac{1}{3}\cdot\frac{15}{2}\cdot4=10.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 11 класс, задача 4, вариант 2-1
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 7, вариант 5, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 124