14646. Плоскость, параллельная основанию четырёхугольной пирамиды объёма V
, отсекает от неё пирамиду объёма v
. Найдите объём пирамиды, четыре вершины которой совпадают с вершинами сечения, а пятая лежит в плоскости основания большей пирамиды.
Ответ. v\left(\sqrt[3]{\frac{V}{v}}-1\right)
.
Решение. Пусть H
и h
— высоты соответственно большей и меньшей пирамид, а h_{1}
— высота пирамиды, объём которой требуется найти. Большая пирамида подобна меньшей с коэффициентом \sqrt[3]{\frac{V}{v}}
, поэтому H=\sqrt[3]{\frac{V}{v}}h
, а
h_{1}=H-h=\sqrt[3]{\frac{V}{v}}h-h=h\left(\sqrt[3]{\frac{V}{v}}-1\right).
Пусть s
— площадь общего основания рассматриваемых пирамид с высотами h
и h_{1}
. Тогда искомый объём равен
\frac{1}{3}sh_{1}=\frac{1}{3}s\cdot h\left(\sqrt[3]{\frac{V}{v}}-1\right)=v\left(\sqrt[3]{\frac{V}{v}}-1\right).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 3, вариант 6, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 124