14648. В жёлобе, имеющем форму двугранного угла величины 2\arcsin\frac{1}{3}
, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль жёлоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.
Ответ. 0\lt r\lt\frac{3}{2}
или r\gt6
.
Решение. Пусть неподвижный шар с центром O
касается граней двугранного угла в точках A
и B
. Плоскость AOB
перпендикулярна ребру l
двугранного угла, так как пересекающиеся прямые OA
и OB
этой плоскости перпендикулярны прямой l
.
Пусть C
— точка пересечения плоскости AOB
с ребром l
. Тогда сечение двугранного угла этой плоскостью — линейный угол ACB
данного двугранного угла и вписанная в него окружность радиуса 3 с центром O
, касающаяся сторон угла ACB
в точках A
и B
. Если бы скользящий шар радиуса r_{0}
касался неподвижного шара, а его центр O_{2}
находился бы в плоскости AOC
, то расстояние между точками O
и O_{1}
было бы равно сумме радиусов, т. е. r_{0}+3
.
Точки O
и O_{1}
лежат на биссектрисе угла ACB
. Пусть точка O_{1}
лежит между C
и O
, а O_{1}P
— перпендикуляр к OA
. Тогда
OP=OA-r_{0},~\angle OO_{1}P=\angle ACO=\frac{1}{2}\angle ACB=\arcsin\frac{1}{3}.
Значит,
OP=OO_{1}\sin\angle OO_{1}P,~\mbox{или}~3-r_{0}=(r_{0}+3)\cdot\frac{1}{3},
откуда r_{0}=\frac{3}{2}
.
Если же точка O_{1}
лежит на продолжении отрезка CO
за точку O
, то аналогично получим уравнение
r_{0}-3=(r_{0}+3)\cdot\frac{1}{3},
откуда r_{0}=6
.
Таким образом, радиус r
скользящего шара должен удовлетворять условию 0\lt r\lt\frac{3}{2}
или r\gt6
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 7, вариант 8, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 126