14651. Две грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники. Их плоскости перпендикулярны, а высоты равны h
. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра.
Ответ. \frac{h\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Пусть плоскости граней ABC
и DBC
тетраэдра ABCD
перпендикулярны. Тогда, центр O
сферы искомого радиуса R
, описанной около тетраэдра, — точка пересечения перпендикуляров, восставленных из центров O_{1}
и O_{2}
равносторонних треугольников ABC
и DBC
соответственно.
Пусть M
— середина общей стороны AB
этих треугольников. Плоскости ABC
и DBC
перпендикулярны, поэтому \angle AMD=90^{\circ}
. Тогда O_{1}MO_{2}O
— квадрат со стороной \frac{h}{3}
, а
R=OA=\sqrt{OO_{1}^{2}+O_{1}A^{2}}=\sqrt{\left(\frac{h}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2h}{3}\right)^{2}}=\frac{h\sqrt{5}}{3}.