14655. В сферу радиуса R
вписан куб. На его гранях вне его построены правильные пирамиды с вершинами на сфере. Найдите объём полученного многогранника.
Ответ. \frac{8}{3}R^{3}
.
Решение. Пусть ребро куба равно a
. Тогда его диагональ равна a\sqrt{3}
. С другой стороны, диагональ куба есть диаметр сферы, поэтому a\sqrt{3}=2R
, откуда a=\frac{2R}{\sqrt{3}}
, а площадь основания каждой из шести построенных пирамид равна a^{2}=\frac{4}{3}R^{2}
.
Пусть V
— искомый объём многогранника, а V_{0}
— объём многогранника, состоящего из двух правильных четырёхугольных пирамид с общим основанием — гранью куба и вершинами, одна из которых — центр сферы, а вторая — вершина пирамиды из условия задачи. Сумма высот двух таких пирамид равна радиусу сферы, значит,
V_{0}=\frac{1}{3}a^{2}R=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}R^{2}\cdot R=\frac{4}{9}R^{3}.
Следовательно,
V=6V_{0}=6\cdot\frac{4}{9}R^{3}=\frac{8}{3}R^{3}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 53, с. 242