14657. Три цилиндра радиуса R
имеют попарно перпендикулярные оси и каждые два имеют единственную общую точку на их образующих. Найдите наибольший радиус шара, который пройдёт в зазор между цилиндрами.
Ответ. R(\sqrt{2}-1)
.
Решение. По условию оси цилиндров — три скрещивающиеся попарно перпендикулярные прямые, причём расстояния между любыми двумя из них равны 2R
, поскольку соответствующие цилиндры имеют пересекающиеся образующие. Рассмотрим куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, три скрещивающихся ребра AB
, CC_{1}
и A_{1}D_{1}
которого (равных 2R
) лежат на этих прямых. Центр O
куба равноудалён от осей цилиндров (на расстояние R\sqrt{2}
), а значит, равноудалён и от боковых поверхностей цилиндров (на расстояние R\sqrt{2}-R=R(\sqrt{2}-1)
). Шар радиуса R(\sqrt{2}-1)
с центром O
касается боковых поверхностей всех трёх цилиндров. Следовательно, любой шар радиуса, не превосходящего r=R(\sqrt{2}-1)
, пройдёт в зазор между цилиндрами.
Если увеличить радиус всех цилиндров с осями AB
, CC_{1}
и A_{1}D_{1}
на величину r=R(\sqrt{2}-1)
, получим цилиндры, поверхности которых имеют общую точку, т. е. между новыми цилиндрами не будет зазора. Это означает, что шар радиуса, большего r=R(\sqrt{2}-1)
, не проходит в зазор между исходными цилиндрами.