14658. На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Ответ. 36.
Решение. Пусть A
, B
и C
— центры шаров радиусов 18, O
— центр шара радиуса 6, а A'
, B'
и C'
соответственно — точки касания шаров с их общей касательной плоскостью. Ортогональная проекция первых трёх шаров на эту плоскость — три попарно касающиеся окружности радиуса 18 с центрами в вершинах равностороннего треугольника A'B'C'
со стороной 36, а ортогональная проекция O'
точки O
— центр треугольника A'B'C'
. Радиус окружности, описанной около треугольника A'B'C'
равен 36\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}
.
В плоскости, проходящей через параллельные прямые AA'
и OO'
, опустим перпендикуляр AD
на прямую OO'
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADO
с гипотенузой AO=18+6=24
(линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания) и катетом AD=A'O'=12\sqrt{3}
находим, что
DO=\sqrt{AO^{2}-AD^{2}}=\sqrt{24^{2}-(12\sqrt{3})^{2}}=12\sqrt{4-3}=12.
Пусть P
— наиболее удалённая от плоскости A'B'C'
точка меньшего шара. Тогда P
лежит на прямой OO'
, причём точка O
лежит между D
и P
. Следовательно,
O'P=O'D+DO+OP=AA'+DO+OP=18+12+6=36.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 4, 11 класс